Introduction

• 从一个集合到另一个集合的映射关系就被称为是function
• 可以表达为$f:A \rightarrow B$
• functions也可以被称为mappings或者transformations
• codomain是B中所有有可能的数，也就是在A没有任何限制的情况下。
• codomain中有的值是可以不被取到的！
• 但是range是a在集合A中所能取到的值的全部可能性
• $(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) +f_2(x)$
• $(f_1f_2)(x) = f_1(x)f_2(x)$
• image of S under function f就是包含了f(S)全部元素的集合

One-to-One Function

• One-to-One function也被称为injection，也就是$if x \neq y, then f(x) \neq f(y)$
• Onto Function(Surjection)就是满射，也就是所有B(codomain)中的元素都必须要能够被f(A)取得
• 如果一个函数又是one-to-one又是onto的话，那么就可以被称为是bijective的（双射的）
• bijection也可以被称为one-to-one correspondence

Inverse Function and Compositions of Functions

• inverse function就是完全相反的映射方式$f^{-1}$
• composition of functions就是复合函数，$(f\circ g)(a) = f(g(a))$

Graphs of Functions

• 如果$f(a) = b$，那么可以将全部有序对组成${(a,b)|a\in A\: and \: f(a) = b}$
• 这个内部都是有序对的集合就被称为是这个function的graph

Some Important Functions

• floor and ceiling functions就是分别是小于等于当前值的最大整数或者大于等于当前值的最小整数

Partial Functions

• 有一些函数并不会包含domain中全部数所对应的值，是在一个domain of definition of f当中。
• 如果存在A中的数不在f的定义域当中，那么此时我们称$f \; is \;undefined$